7. – 8. Schuljahr

Matthias Römer

Was ist normal?

Perzentilkurven zum Wachstum lesen und verstehen

Daten erfassen und auswerten, Diagramme lesen und interpretieren sowie statistische Kennzahlen wie den Median oder Quartile (reflektiert) nutzen das sind charakteristische Aktivitäten im Stochastikunterricht der Sek. I. Der Boxplot, der diese Kennzahlen grafisch darstellt, kommt allerdings im Alltag bzw. in den Medien kaum vor. Wachstumskurven1 von Kindern und Jugendlichen, die meist mittels Perzentilkurven dargestellt werden, bieten hingegen für den Stochastikunterricht ein authentisches und reichhaltiges Arbeitsfeld (z.B. Brauner u.a. 2012).
„Perzentilkurven lesen und interpretieren steht nicht explizit in deutschsprachigen Lehrplänen. Doch werden bei dieser Tätigkeit eine Reihe von Lernzielen angestrebt und eine Vielzahl von Fähigkeiten angesprochen, die in den bestehenden Curricula zu finden sind (etwa Darstellungen verwenden und Kommunizieren). Darüber hinaus werden bei dem Thema verschiedene Leitideen miteinander verknüpft (Messen Daten und Zufall Funktionaler Zusammenhang) und ein Zugang zur Mathematik in der Lebenswelt geschaffen. Datenbezogenes Lesen spielt eine große Rolle, und auch im PISA-Lesekompetenztest (OECD 2010) enthalten über ein Fünftel der Aufgaben Diagramme oder Tabellen.
Perzentile kommen vor
Perzentile (Kasten 1) werden häufig dazu genutzt, medizinische Daten mithilfe von Grafiken aufzubereiten so auch in der Kinderheilkunde bei der Beschreibung der Entwicklung körperlicher Merkmale während der Kindheit und Jugend.
Was sind Perzentile?
Was sind Perzentile?
Statistische Kennzahlen wie der Median oder die im Boxplot verwendeten Quartile strukturieren Daten, indem sie Schwellen angeben, über bzw. unter denen ein entsprechender Anteil der Daten liegt. Mit dem Median wird die Rangliste der Daten halbiert, d.h. im Verhältnis 1:1 aufgeteilt.
Das untere (obere) Quartil teilt die geordneten Daten im Verhältnis 1:3 (3:1).
Mit Perzentilen zu einem vorgegebenen Prozentsatz p% wird ein der Größe nach sortierter Datensatz im Verhältnis p : (100 p) aufgeteilt. Anders ausgedrückt: Höchstens p% der Daten sind kleiner als das Perzentil zu diesem Prozentsatz, und höchstens (100 p)% der Daten sind größer als dieses.
Verfahren zur Ermittlung von Perzentilen:
1. Daten zu einem Merkmal erheben.
2. Daten sortieren (Rangliste erstellen):
Für die 45 Körpergrößen der Jungen und Mädchen erhalten wir:
1,43m; 1,46m; 1,47m; 1,47m; 1,49m; 1,53m; 1,54m; 1,56m; 1,56m; 1,57m; 1,58m; 1,58m; 1,59m; 1,59m; 1,60m; 1,61m; 1,61m; 1,65m; 1,67m; 1,67m; 1,67m; 1,67m; 1,67m; 1,67m; 1,68m; 1,69m; 1,70m; 1,70m; 1,72m; 1,72m; 1,72m; 1,73m; 1,74m; 1,75m; 1,75m; 1,77m; 1,77m; 1,81m; 1,81m; 1,82m; 1,83m; 1,84m; 1,85m; 1,85m; 1,86m
3. Datenmenge durch Perzentile einteilen:
Den Prozentsatz, zu dem man das Perzentil angeben will, kann man frei bestimmen. Die WHO arbeitet aus statistischen Gründen mit 15% und 85%-Perzentilen.
Das Perzentil zum Prozentsatz p% erhält man, indem man den Prozent-wert der Anzahl der Daten bestimmt (bei einer Datenmenge der Größe n ist das n·p/100). Falls das Ergebnis nicht ganzzahlig ist, wird auf die nächst größere ganze Zahl aufgerundet.
Für unser Beispiel (45 Daten) gilt:
Das 85%-Perzentil ist der 39. Wert in der Rangliste (da 45·85/100 = 38,25, aufgerundet 39), also 1,81m.
Das 15%-Perzentil ist der 7. Wert und lautet 1,54m.
(Der Median der Daten ist 1,67m.)
Die in diesem Gebiet als „Normkurven eingesetzten Perzentilkurven erlauben die Einschätzung der körperlichen Merkmale eines Kindes zu einem bestimmten Zeitpunkt im Vergleich zu den Kennzahlen dieser Merkmale in einer Vergleichsgruppe (Arbeitsblatt 1 ). Wie diese Diagramme zu lesen und zu interpretieren sind, ist nicht immer jedem sofort klar dies zeigen auch die zahlreichen Fragen, die dazu, z.B. in Internet-Foren, gestellt werden (Arbeitsblatt 2 ).
Perzentile werden auch in anderen Bereichen genutzt, um Daten übersichtlich zu strukturieren. Bei internationalen Schulleistungs-Vergleichstests ist es üblich, Ergebnisse mithilfe dieser Kennzahlen aufzubereiten und so Unterschiede zwischen einzelnen Staaten aufzuzeigen (Abb. 1 ). Ein anderes Beispiel ist die Aufbereitung von Wetterdaten (vgl. https://youtu.be/h4Za6FhaPgA).
Die WHO-Perzentilkurven zum Körpergrößenwachstum von Kindern
Die WHO veröffentlicht, basierend auf der Multicentre Growth Reference Study, auf ihrer Website zahlreiche Daten zum Wachstum von Kindern sowie entsprechende Diagramme (http://www.who.int/childgrowth/mgrs/en/). In den Diagrammen zur körperlichen Entwicklung von Kindern und Jugendlichen werden neben dem Median auch jeweils die 3%-, 15%-, 85%- und 97%-Perzentile angegeben.
Liegt ein Messwert über dem 85%-Perzentil bzw. unter dem 15%-Perzentil, könnte die körperliche Entwicklung des betreffenden Kindes evtl. nicht „normal sein und weitere Untersuchungen können klären, ob tatsächlich eine Entwicklungsstörung vorliegt. Übrigens kann die Körpergröße in einer Population annähernd als normalverteilt beschrieben werden. Ähnliches gilt auch für Kopfumfänge, Taillenumfang usw.2 Die Daten für Kinder und Jugendliche aus den beiden Diagrammen auf dem Arbeitsblatt 1 stammen aus amerikanischen Studien kombiniert mit einer Weiterentwicklung von Daten aus dem Jahr 1977 (de Onis u.a. 2007). Die Wachstumskurven, die aktuell auf den Untersuchungsheften in Deutschland abgebildet sind, wurden in deutschen Erhebungen gewonnen (Robert-Koch-Institut 2013, S. 12). Sie unterscheiden sich von den WHO-Datenerhebungen aufgrund sozioökonomischer und hygienischer Verhältnisse.
Ideen für den Unterricht
Es erscheint mir sinnvoll, beim Lesen und Interpretieren statistischer Diagramme die Kommunikation in den Vordergrund zu stellen. Im Sinne eines geleiteten Erfahrungsaustauschs möchte ich die Schülerinnen und Schüler dazu führen, die gewonnenen Erkenntnisse und die geäußerten Vermutungen miteinander zu diskutieren und zu überprüfen.
Um das verständige Lesen und Interpretieren von Perzentilen in Wachstumskurven anzubahnen, machen sich Schülerinnen und Schüler sowohl mit der Ermittlung als auch dem Nutzen dieser Kennzahl auf der Basis einer eigenständigen Datenerfassung und -auswertung vertraut. Das ist mir deshalb so wichtig, weil nicht nur Schülerinnen und Schüler, sondern auch viele Erwachsene Schwierigkeiten im Umgang mit Prozenten haben.
Eigene Daten erheben, auswerten und mit der WHO-Norm vergleichen
Wir beginnen in der Klasse mit dem Messen eigener Körpermerkmale (genauer: der Körpergröße, das Körpergewicht ist wegen eventuell über- oder untergewichtiger Kinder eher nicht zu empfehlen. Andere Möglichkeiten sind der Kopfumfang oder die Armlänge3). Gerade für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler gilt bei diesem Thema: „Weniger ist mehr. Die entscheidende Komponente ist „Erfahrungen machen und reflektieren und diese in einen Zusammenhang mit der eigenen Lebenswirklichkeit zu stellen. Daher lasse ich Daten in diesem ersten Schritt selbst erfassen und gebe sie nicht vor.
Die gewonnenen Daten nutzen wir dann für Verteilungsvergleiche, zuerst zwischen den Mädchen und Jungen danach mit der WHO-Statistik. Daher steht wie immer bei einer statistischen Erhebung am Beginn eine Frage, die mit den Daten untersucht werden kann, hier etwa:
Sind die Jungen in unserer Klasse (Jahrgangsstufe) größer als die Mädchen?
Bei der Auswertung unserer Daten wird schnell klar, dass das Ordnen und Systematisieren von Daten bei der Beantwortung dieser Frage hilft. Die Anordnung der gemessenen Körpergrößen sollte am besten in einem Stamm-Blätter-Diagramm (Abb. 2 ) geschehen, da auf diesem Weg sowohl die Rangliste der geordneten Daten als auch die Häufigkeitsverteilung sichtbar werden. Ein Vergleich von zwei Teilgruppen ist dann recht einfach möglich (Krüger u.a. 2015, S. 51ff.).
Das Stamm-Blätter-Diagramm und entsteht durch Zettel (Post-Its) direkt an der Tafel. Bei dieser problemorientierten Einführung erleben die Schülerinnen und Schüler direkt das Einsortieren der Daten der Größe nach sowie die Entstehung der Klasseneinteilung in 10cm breite Körpergrößenklassen, z.B. von einschließlich 1,40m bis unter 1,50m usw. (Abb. 2). Das gepaarte Stamm-Blätter-Diagramm (Abb. 3 ) zeigt die unterschiedliche Lage der Daten und gibt einen guten Überblick über die Verteilung der Körpergrößen von Jungen und Mädchen. Wie daran zu erkennen ist, sind beide Körpergrößenverteilungen gegeneinander verschoben. Demnach sind die Jungen in den beiden untersuchten 9. Klassen tendenziell größer als die Mädchen. Die Auswertung kann nun nach Geschlechtern getrennt erfolgen, um die Unterschiede zu quantifizieren. Hierfür können die Mediane der beiden Verteilungen miteinander verglichen werden. Bei den Mädchen beträgt in unserem Beispiel der Median 1,59m, bei den Jungen 1,725m. Die Jungen sind demnach im Mittel 13,5cm größer als die Mädchen. Insgesamt streuen die Körpergrößedaten der Mädchen etwas stärker als die der Jungen. Dies kann man daran erkennen, dass das Stamm-Blätter-Diagramm breiter ist als das der Jungen. Die Spannweite beträgt bei den Mädchen 41cm, bei den Jungen 33cm. Ein Teil der Variabilität der Körpergrößen in den beiden untersuchten Klassen lässt sich somit auf das Geschlecht zurückführen.
Im Anschluss daran vergleichen wir die beiden Verteilungen genauer, indem wir untersuchen, wie die Körpergrößedaten der Jungen und der Mädchen verstreut liegen. Dafür ist die Spannweite nur bedingt geeignet, da sie von extremen Daten beeinflusst wird. Wir wollen deshalb eventuelle Ausreißer ausblenden und uns auf die Mehrheit der Messwerte unserer beiden Datensätze konzentrieren.
Um die Brücke zu den Perzentilkurven zu schlagen, schlage ich an dieser Stelle eine Verallgemeinerung der Quartile hin zu Perzentilen vor, mit der Frage:
Wo liegen die mittleren 70% der Körpergrößedaten der Jungen und Mädchen im Vergleich zueinander?
Analog zum unteren und oberen Quartil werden nun das 15%-Perzentil und das 85%-Perzentil aus den Daten ermittelt (s. Kasten 1).
Was sind Perzentile?
Was sind Perzentile?
Statistische Kennzahlen wie der Median oder die im Boxplot verwendeten Quartile strukturieren Daten, indem sie Schwellen angeben, über bzw. unter denen ein entsprechender Anteil der Daten liegt. Mit dem Median wird die Rangliste der Daten halbiert, d.h. im Verhältnis 1:1 aufgeteilt.
Das untere (obere) Quartil teilt die geordneten Daten im Verhältnis 1:3 (3:1).
Mit Perzentilen zu einem vorgegebenen Prozentsatz p% wird ein der Größe nach sortierter Datensatz im Verhältnis p : (100 p) aufgeteilt. Anders ausgedrückt: Höchstens p% der Daten sind kleiner als das Perzentil zu diesem Prozentsatz, und höchstens (100 p)% der Daten sind größer als dieses.
Verfahren zur Ermittlung von Perzentilen:
1. Daten zu einem Merkmal erheben.
2. Daten sortieren (Rangliste erstellen):
Für die 45 Körpergrößen der Jungen und Mädchen erhalten wir:
1,43m; 1,46m; 1,47m; 1,47m; 1,49m; 1,53m; 1,54m; 1,56m; 1,56m; 1,57m; 1,58m; 1,58m; 1,59m; 1,59m; 1,60m; 1,61m; 1,61m; 1,65m; 1,67m; 1,67m; 1,67m; 1,67m; 1,67m; 1,67m; 1,68m; 1,69m; 1,70m; 1,70m; 1,72m; 1,72m; 1,72m; 1,73m; 1,74m; 1,75m; 1,75m; 1,77m; 1,77m; 1,81m; 1,81m; 1,82m; 1,83m; 1,84m; 1,85m; 1,85m; 1,86m
3. Datenmenge durch Perzentile einteilen:
Den Prozentsatz, zu dem man das Perzentil angeben will, kann man frei bestimmen. Die WHO arbeitet aus statistischen Gründen mit 15% und 85%-Perzentilen.
Das Perzentil zum Prozentsatz p% erhält man, indem man den Prozent-wert der Anzahl der Daten bestimmt (bei einer Datenmenge der Größe n ist das n·p/100). Falls das Ergebnis nicht ganzzahlig ist, wird auf die nächst größere ganze Zahl aufgerundet.
Für unser Beispiel (45 Daten) gilt:
Das 85%-Perzentil ist der 39. Wert in der Rangliste (da 45·85/100 = 38,25, aufgerundet 39), also 1,81m.
Das 15%-Perzentil ist der 7. Wert und lautet 1,54m.
(Der Median der Daten ist 1,67m.)
Mithilfe des 15%- und 85%-Perzentils können im Stamm-Blätter-Diagramm die Schwellen markiert werden, die angeben, wie viel Prozent der Daten des gesamten Datensatzes jeweils höchstens unter dieser Grenze liegen (Abb. 2 u. 3). Der Abstand dieser beiden Perzentile ermöglicht eine Einschätzung über die Streuung der Daten, also ein Maß dafür, wie breit die Daten über die Merkmalsausprägungen verteilt sind. Während die Spannweite der gesamten Daten 43cm beträgt, beträgt der Abstand zwischen dem 15%-Perzentil und 85%-Perzentil 27cm. Bei den Mädchen liegt der Abstand zwischen den beiden Perzentilen bei 23cm und bei den Jungen ebenfalls bei 23cm (Abb. 3).
Dieses Ergebnis zeigt eine, im Vergleich zur Altersklasse in den WHO-Diagrammen (z.B. bei 15,5 Jahren) etwas breitere Streuung sowohl bei den Mädchen als auch bei den Jungen. Wie lässt sich das erklären? In einer Klassenstufe gibt es Jugendliche aus verschiedenen Altersklassen, bei uns waren die meisten Schüler und Schülerinnen zwischen 15 und 16 Jahren alt. Innerhalb eines Jahres wachsen Jungen in diesem Alter um rund 4cm und Mädchen um rund 2cm, wie den WHO-Wachstumskurven (Online-Material ) zu entnehmen ist. Außerdem kommt hinzu, dass die Streuung von Daten in kleinen Stichproben zufallsbedingt größer sein kann.
Der Nutzen der Perzentile liegt darin, dass sie Vergleichswerte liefern, die dabei helfen können, die eigenen Körpermaße einzuordnen oder die Stichprobe der Körpergrößedaten aus unserer Klasse mit denen einer größeren, repräsentativen Stichprobe vergleichen zu können.
Perzentilkurven lesen, verstehen und interpretieren
In der sich anschließenden Unterrichtsphase liegt der Fokus auf dem Lesen, Verstehen und Interpretieren von Perzentilkurven (Arbeitsblatt 1). Dazu nutzen wir wieder die Grafiken der WHO. Insbesondere eignen sie sich, um den Blick auf die zunehmende Streuung der Körpergrößedaten bei älteren Jugendlichen zu richten (Auseinanderlaufen der Kurven). Schließlich lässt sich diskutieren, ob die Perzentilkurven, die man für Jugendliche aus Österreich oder der Schweiz gewinnen würde, ähnlich aussehen.
Diskussion: Was bedeuten Perzentile?
Sind meine Schülerinnen und Schüler nun in der Lage, eine Äußerung aus einem Internetforum die anderen Nutzern erklären möchte, was Perzentile im Kinder-Untersuchungsheft bedeuten und wie sie zu interpretieren sind unter die Lupe zu nehmen (Arbeitsblatt 2)? In die Erklärung haben sich große und kleine Fehler eingeschlichen und das Herausfinden dieser macht diese Aufgabe interessant und wirkungsvoll. Denn nur wenn die Schülerinnen und Schüler verstanden haben, was Perzentile sind und worin deren Nutzen liegt, können sie die Antworten richtig einschätzen und kommentieren. Wie hier hoffentlich deutlich wird, liegt der Wert einer Erklärung in ihrer Klarheit und Verständlichkeit.
Die Antwort von ‚Baby2411 enthält mehrere kritische Stellen. So bezeichnet sie Perzentile als ein „Längenmaß das ist falsch und müsste korrigiert werden. Wenn man den unvollständigen zweiten Satz ergänzen würde, könnte die Antwort einfach verbessert werden: „Liegt (die Körpergröße) ein(es) Kind(es) auf der Perzentile 75, bedeutet das, dass (höchstens) 75% der Kinder seines Alters und Geschlechts kleiner sind. Der letzte Satz schließlich regt zum Nachdenken an, z.B. über die angedeutete Trennung „statistischer Werte von „wirklichen Daten.
Solche authentischen Fragen und Antworten aus Internetforen lassen sich gut im Unterricht verwenden und können, mit entsprechenden Arbeitsaufträgen versehen, einen wertvollen Beitrag zum vertieften Begriffsverständnis liefern.
In der Auseinandersetzung mit Definitionen, Erklärungen und Beschreibungen mathematischer Konzepte lässt sich Fehlerhaftes erkennen und korrigieren. Schülerinnen und Schüler entwickeln auch eigene Formulierungen und strukturieren sie so, dass auch andere sie verstehen. Hier entfalten sich beim Kommunizieren sowohl ein rezeptiver Anteil (beim Lesen) als auch ein produktiver Anteil (beim Verfassen von Erklärungen).
Resümee
Die Untersuchung von Perzentilkurven lohnt sich im Anschluss an eine Unterrichtseinheit über Quartile und den Boxplot (direkt oder etwas später, als angereicherte Wiederholung). Im Sinne statistischer Grundbildung fördert der Umgang mit Perzentilkurven „Kompetenzen, die für die Partizipationsfähigkeit von Bürgern beim Umgang mit ihren statistischen Daten und ihren Darstellungen und Interpretationen erforderlich sind (Biehler/Engel 2015, S. 224). Insbesondere die Diskussionen im Internet verdeutlichen, dass die entsprechenden Kompetenzen nicht in der wünschenswerten Breite in der Bevölkerung vorhanden sind hier kann der Mathematikunterricht auch vorbeugend wirken.
Anmerkungen
1Mathematik lehren hat in der Ausgabe 175 diese Thematik aufgegriffen und Aufgaben zu entsprechenden Diagrammen formuliert. (Brauner/Heitzer/Menzel 2012, 3)
2 Informationen hierzu finden sich unter http://koerpermass.kan-praxis.de. Dies ist eine Seite, die sich mit Normen für das Design von Produkten beschäftigt, die an Körpermaße angepasst werden müssen.
3Daten zum Kopfumfang für Kinder und Jugendliche von 0 bis 18 Jahre finden sich auf den Seiten des Robert-Koch-Instituts. (https://www.rki.de/DE/Content/Gesundheitsmonitoring/Gesundheitsberichterstattung/GBEDownloadsB/referenzperzentile/kopfumfang.pdf?__blob=publicationFile)
Literatur
Artelt, C./Baumert, J./Klieme, E./Neubrand, M./Prenzel, M./Schiefele, U. u.a. (Hrsg.). (2001): PISA 2000: Zusammenfassung zentraler Befunde. Berlin: Max-Planck-Insti-tut für Bildungsforschung.
Biehler, R./Engel, J. (2015): Stochastik: Leitidee Daten und Zufall. In: Bruder, R./Hefendehl-Hebeker, L./Schmidt-Thieme, B./ Weigand H.-G. (Hrsg.): Handbuch der Mathematikdidaktik, Springer: Heidelberg.
Brauner, U./Heitzer, J./Menzel, A. (2012): Gesundheit! Üben im Kontext. Mathewelt In: mathematik lehren, Heft 175, S. 3ff.
Krüger, K./Sill, H.-D./Sikora, C. (2015): Didaktik der Stochastik in der Sekundarstufe I. Berlin: Springer.
OECD (2010): PISA 2009 Ergebnisse: Was Schülerinnen und Schüler wissen und können: Schülerleistungen in Lesekompetenz, Mathematik und Naturwissenschaften (Band I). Bielefeld: Bertelsmann.
de Onis, M./Onyango, A./Borghi, E./Siyam, A., Nishida, C./Siekmann, J. (2007): Development of a WHO growth reference for school-aged children and adolescents. Bulletin of the World Health Organization, 85 (9), S. 660 – 667.
Robert-Koch-Institut (Hrsg.) (2013): Referenzperzentile für anthropometrische Maßzahlen und Blutdruck aus der Studie zur Gesundheit von Kindern und Jugendlichen in Deutschland (KiGGS). Beiträge zur Gesundheitsberichtserstattung des Bundes. Berlin.